จำนวนและตัวเลข (Numbers and Numerals)

ประวัติของจำนวน 

          เนื่องจากเมื่อประมาณ  30,000  ปีก่อนคริสตศักราช  มีหลักฐานทางโบราณคดีที่ค้นพบในถ้ำต่าง ๆ  ที่มนุษย์เข้าไปอาศัยอยู่  แล้วขีดเขียนภาพบผนังถ้ำเป็นการบ่งบอกจำนวนของสัตว์ที่มีอยู่จึงสันนิษฐานว่าการนับสิ่งของต่าง ๆ คงเริ่มต้นขึ้นตั้งแต่สมัยมนุษย์ถ้ำ  และคงเป็นวิธีการจับคู่สิ่งของแบบหนึ่งต่อหนึ่งด้วยความจำเป็นต้องใช้จำนวนในการบอกปริมาณว่ามีมากหรือน้อย  เช่น  คนสองคนกับวัวฝูงหนึ่ง  จับคู่กันแล้วจะมีวัวเหลืออยู่ 3  ตัว  ก็เป็นการแสดงว่าคนกับวัวมีจำนวนไม่เท่ากัน 

 

          มนุษย์ทุกชาติภาษาต่างมีความเข้าใจตรงกันในเรื่องของจำนวน  แต่สัญญาลักษณ์ที่เขียนแทนจำนวนหรือสิ่งของที่รู้จักกันในนามของตัวเลข  นั้นจะมีลักษณะที่แตกต่างกัน

          

          ตัวเลขสมัยโบราณที่ใช้แพร่หลายตามความเจริญของอารยธรรมชนเผา  ได้แก่  ตัวเลขอียิปต์  บาบิโลน  ตัวเลขโรมัน  และตัวเลขฮินดูอารบิก  ตัวเลขในปัจจุบันที่ใช้กันอย่างแพร่หลายเป็นสากล  คือ  ตัวเลขฮินดูอารบิก  ซึ่งเป็นตัวเลขที่ชาวฮินดูเป็นผู้คิดประดิษฐ์ขึ้น  ชาวอาหรับนำไปเผยแพร่จึงได้ชื่อตามผู้คิดและผู้ที่เผยแพร่จนได้ใช้กันเป็นสากลทั่วโลก

          ตัวเลขไทยนั้น  มีหลักฐานปรากฏในศิลาจารึกที่  1  ประดิษฐ์โดย  พ่อขุนรามคำแหงมหาราช 

ตัวเลขของชาติต่างๆ

ตัวอย่างตัวเลขชนิดต่าง

ตัวเลขอียิปต์

        ในสมัยโบราณ อียิปต์เป็นชาติที่เจริญรุ่งเรืองทางด้านศิลปะวิทยาการก่อนชาติอื่นๆ ชาวอียิปต์รู้จักบันทึกจำนวนโดยใช้สัญลักษณ์ต่างๆ ดังต่อไปนี้

         การเขียนสัญลักษณ์แทนจำนวนของชาวอียิปต์ ใช้วิธีรวมค่าของสัญลักษณ์เหล่านั้น ไม่คำนึงถึงตำแหน่งของสัญลักษณ์ ดังนั้น จำนวนเดียวกัน อาจจะเขียนสัญลักษณ์สลับที่เป็นแบบต่างๆ ได้  ซึ่งจะเขียนตัวเลขเรียงกันแล้วแล้วนำค่ามาบวกกัน

                                                         

                      
ตัวเลขโรมัน

          เมื่อประมาณ  300 – 100  ปีก่อนคริสตศักราช  ชาวโรมันนำตัวหนังสือกรีกมาดัดแปลงเป็นตัวเลขโรมัน โดยมีสัญลักษณ์  7  ตัว ดังนี้

ตัวเลขโรมัน	I	V	X	L	C	D	M
แทนจำนวน	1	5	10	50	100	500	1,000

เมื่อต้องการเขียนตัวเลขจำนวนตัวเลขอื่น ๆ ก็ใช้หลักการ  2  ประการคือ

    1. หลักการเพิ่ม คือ เขียนตัวเลขเรียงกันตามลำดับจากค่ามากไปหาค่าน้อย แล้วนำค่าตัวเลขแต่ละตัวมาบวกกัน เช่น                                                              

                              VII           แทน     5 + 2  =  7                  
                             XVI         แทน    10 + 5 + 1  =  16                              CLXVIII     แทน    100+ 50 + 10 + 5 + 3  =  168
        
การเขียนตัวเลขโดยใช้หลักการลด มีเงื่อนไข ดังนี้ 

                   2.1   ตัวเลขที่ใช้เป็นตัวลบ ได้แก่  I , X และ C เท่านั้น
                   2.2   จะพบว่าตัวเลขที่อยู่ด้านหน้าของ X หรือ V มีเพียง I  ตัวเดียว
                           เช่น     IV     แทน     4 
                                     IX     แทน     9 
                   2.3   ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของ L หรือ C ได้แก่ X เพียงตัวเดียว 
                           เช่น     XL   แทน     40 
                                     XC   แทน     90 
                   2.4   ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของ D หรือ M ได้แก่ C เพียงตัวเดียว 
                           เช่น     CD     แทน    400 
                                     CM    แทน    900
                   จำนวน 944  เขียนเป็น 900 + 40 + 4  ซึ่งเท่ากับ CM + XL + IV  ซึ่งแทนด้วย CMXLIV

2. หลักการลด คือ เขียนตัวเลขที่มีค่าน้อยกว่าไว้ข้างหน้าตัวเลขที่มีค่ามากกว่าแล้วนำค่าตัวเลขทั้งสองมาลบกัน ซึ่งใช้กับจำนวนที่มีตัวเลข 4 และ 9 เท่านั้น 

                          เช่น  IV , IX ,  XC  มีค่าเท่ากับ  4 , 9 , 90

                   จำนวน 499  เขียนเป็น 400 + 90 + 9  ซึ่งเท่ากับ CD + XC + IX  ซึ่งแทนด้วย CDXCIX

ในระบบตัวเลขโรมันยังมีสัญลักษณ์แทนจำนวนที่มีค่ามากๆโดยใช้เครื่องหมาย ( - )  บนสัญลักษณ์พื้นฐานเพียงหกตัวดังนี้

ตัวเลขมายัน

           ในสมัยก่อนที่โคลัมบัสพบซีกาโลกตะวันตกนั้น ชนเผ่ามายันได้อาศัยอยู่ในอเมริกากลาง และเม็กซิโก เป็นชาติที่มีความเจริญรุ่งเรืองมาแล้ว ชาวมายันใช้ตัวเลขที่มีค่าประจำตำแหน่ง และเป็นชาติแรกที่มีสัญลักษณ์แทนจำนวนศูนย์ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนจำนวนของชาวมายัน มีดังนี้

           การเขียนตัวเลขแทนจำนวนใหญ่ๆ ของชาวมายันใช้วิธีการเดียวกันกับของจีน คือเขียนในแนวตั้ง เรียงจากมากลงมาหาน้อย  เขียนตัวเลขหลักหน่วยไว้ตำแหน่งล่างสุด  เขียนตัวเลขหลักที่สองเหนือหลักหน่วย หลักที่สองมีค่าประจำตำแหน่งเป็น 20 เท่าของจำนวนในหลักนี้  เขียนตัวเลขหลักที่สามเหนือหลักที่สอง หลักที่สามมีค่าประจำตำแหน่งเป็น 18 X 20 เท่าของจำนวนในหลักนี้

ตัวเลขบาบิโลน

           ชาวบาบิโลน  เป็นชาติที่มีความเจริญทางลุ่มน้ำไทกริสเฟรติส  ดินแดนตะวันออกกลางในปัจจุบันนี้ราว  3,000 – 2,000  ปี  ก่อนคริสตศักราช  ชาวบาบิโลนจารึกตัวเลขลิ่มที่ใช้แทนจำนวนต่าง ๆ

ชาวบาบิโลนเป็นผู้เริ่มต้นแนวคิดเกี่ยวกับค่าประจำหลัก คือ ใช้สัญลักษณ์ตัวเดียวกันแทนจำนวนที่ต่างกัน ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลขนั้นๆ 

ตัวเลขจีน

           เลขจีน คืออักษรจีนที่ใช้สำหรับเขียนแทนจำนวนในภาษาจีน ในทุกวันนี้ผู้พูดภาษาจีนใช้ระบบเลขสามแบบ คือ เลขอารบิกสมัยใหม่ และเลขจีนโบราณอีกสองระบบ การเขียนและการอ่านเลขจีนเขียนคล้ายจำนวนในภาษาไทย คือมีเลขโดดและค่าประจำหลัก แต่ก็มีหลักเกณฑ์บางอย่างที่ต่างออกไป  ซึ่งชาวจีนมีสัญลักษณ์สิบสองตัวที่ใช้เขียนแทนจำนวน

ชาวจีนใช้วิธีคูณตามค่าประจำตำแหน่งของแต่ละหลัก แล้วรวมผลคูณนั้นๆเข้าด้วยกัน การเขียนเป็นดังนี้

ตัวเลขไทย

ตัวเลขไทย เป็นอักษรตัวเลขที่ใช้แสดงจำนวนนับในภาษาไทย ประดิษฐ์ขึ้นโดยพ่อขุนรามคำแหงมหาราช โดยดัดแปลงมาจากตัวอักษรขอม และมีต้นตอมาจากอักษรเทวนาครีของอินเดีย เช่นเดียวกับเลข    อารบิก เป็นหนึ่งในไม่กี่ภาษาที่ใช้ระบบจำนวนนับเป็นเลขฐานสิบ และมีการเปลี่ยนแปลงสัณฐาน จากอดีตสู่ปัจจุบันน้อยมาก

ตัวเลขอารบิก 

เป็นสัญลักษณ์ตัวเลขที่นิยมใช้กันมากที่สุดในโลก และนับว่าเป็นส่วนสำคัญในประวัติศาสตร์การพัฒนาคณิตศาสตร์  ตัวเลขอารบิกประกอบไปด้วย 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ระบบตัวเลขฐานต่าง ๆ

ระบบตัวเลขฐานสิบ   

          ระบบตัวเลขฮินดูอารบิกเป็นระบบฐาน  10  ชนชาติฮินดูเป็นผู้คิดระบบตัวเลขนี้และชนชาติอาหรับนำตัวเลขนี้ไปเผยแพร่  จากการเดินทางไปค้าขายระหว่างอินเดียและยุโรปมีหลักฐานจากเสาหินในประเทศอินเดีย  ซึ่งเชื่อว่าสร้างสมัยพระเจ้าอโศกมหาราช  ประมาณ  พ.ศ. 300  สมัยแรก  ยังไม่มีเลขศูนย์  หลักฐานการใช้เลขศูนย์ปรากฏในหนังสือเขียนราว  พ.ศ. 1350

          สัญญาลักษณ์หรือเลขโดดที่ใช้ในระบบตัวเลขฐานสิบมีอยู่สิบตัว  คือ 0, 1, 2, ... , 9 ตัวเลขเหล่านี้เมื่อใช้เขียนแทนจำนวนใดก็จะขึ้นอยู่กับหลักที่ปรากฏอยู่และค่าประจำหลักนั้น 

ระบบตัวเลขฐานห้า

ระบบตัวเลขฐานห้าจะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 5 ตัว คือ 0, 1, 2, 3 และ 4 ระบบเลขนี้นิยมแพร่หลายในพวกเอสกิโม (Eskimos) และอินเดียในอเมริกาเหนือ

ระบบตัวเลขฐานสอง

ระบบเลขฐานสองได้ถูกคิดค้นขึ้นโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ชื่อ “GOTTFRIED WILHELM”  ซึ่งใช้สัญลักษณ์เป็น 0 และ 1 เท่านั้น ทำให้ระบบเลขฐานสองนี้เหมาะสมในการนำมาประยุกต์แทนการอธิบายการทำงานของวงจรอิเล็กทรอนิกส์ โดย ON จะแทน 1 และ OFF จะแทน 0

 

ระบบตัวเลขฐานสิบสอง

ระบบตัวเลขฐานสิบสองจะประกอบด้วยเลขโดดพื้นฐานจำนวน 12 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a และ b ซึ่งระบบเลขฐานสิบสองนี้จะเห็นได้จากนาฬิกา นิ้วและฟุต

ตารางแสดงหลัก และค่าประจำหลักในระบบตัวเลขฐานต่างๆ

นอกจากนี้การเขียนจำนวนในระบบตัวเลขฐานต่าง  ๆ  ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐาน ยังสามารถใช้หลักการกระจายได้อีกด้วย

ตัวอย่าง จงเขียน 134₅ , 1101₂ และ 2BA₁₂ ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานสิบ

การเปลี่ยนฐานในระบบตัวเลข

          การเปลี่ยนฐานที่กำหนดให้เป็นฐานอื่น ๆ และฐานทั้งคู่ไม่ใช้ฐานสิบทำได้โดยเปลี่ยนตัวเลขที่กำหนดให้เป็นตัวเลขในระบบฐานสิบก่อนแล้วค่อยเปลี่ยนไปยังฐานที่ต้องการ

ตัวอย่าง จงเขียน 49 , 512 และ 3275 ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานสอง , ห้า และสิบสองตามลำดับ

วิธีทำ เขียน 49 ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานสอง

               
      เขียน  512  ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานห้า

          เขียน 3275 ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานสิบสอง

             การเปลี่ยนฐานที่กำหนดให้เป็นฐานอื่น และฐานทั้งคู่ไม่ใช่ฐานสิบ ทำได้โดยเปลี่ยนตัวเลขที่กำหนดให้เป็นตัวเลขในระบบตัวเลขฐานสิบก่อน 

ตัวอย่าง  จงเขียน 324₅  ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานสอง

วิธีทำ  

                เปลี่ยน 89 ให้เป็นตัวเลขในระบบตัวเลขฐานสอง

ตัวอย่าง  จงเขียน 130120₅   ให้อยู่ในระบบตัวเลขฐานสิบสองวิธีทำ 

     

               เปลี่ยน 5035 ให้เป็นตัวเลขในระบบตัวเลขฐานสิบสอง  

    

         

อ้างอิง

ตัวเลขสมัยต่างๆ.  [ออนไลน์]. เข้าถึงได้จาก : http://www.kanchanapisek.or.th/kp6/                 
            BOOK6/chapter2/t6-2-m.htm.  สืบค้นวันที่  8  พฤศจิกายน 57.

พรรคพงศ์สนิท สนิทวงศ์.  (2529).  สารานุกรมสำหรับเยาวชน.  กรุงเทพฯ : อมรินทร์การพิมพ์.

สุชิน  ทำมาหากิน.  รวมสูตรคณิตศาสตร์  ม.1 – 2 – 3.  กรุงเทพฯ : เรืองแสงการพิมพ์.  หน้า  10-17.

โครงงานคณิตศาสตร์. [ออนไลน์]. เข้าถึงได้จาก : http://www.wisut.org/new/cot/new/math.html.

สืบค้นวันที่  9  พฤศจิกายน 57

ผู้จัดทำ

ประวัติผู้จัดทำ

ชื่อ  นางสาวอภิรดี  อุดร

เกิด   วันที่  21  พฤศจิกายน  พ.ศ.2536

ที่อยู่ปัจจุบัน    บ้านเลขที่  425  หมู่ที่  1  ตำบลนอกเมือง  อำเภอเมือง  จังหวัดสุรินทร์  

ประวัติการศึกษา   ปี  พ.ศ. 2554  จบระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่  6  จากโรงเรียนขุขันธ์   ต.ห้วยเหนือ    

                            อ.ขุขันธ์  จ.ศรีสะเกษ

                            ปัจจุบันศึกษาอยู่ที่ มหาวิทยาลัยราชภัฏสุรินทร์  สาขาคณิตศาสตร์ ชั้นปี 3